4. На одной стороне угла с вершиной M взяли точки A и B, а на другой — точки C и D, причём отрезки BC и AD пересекаются в точке O. Известно, что углы OBM и ODM равны, BO = OD. Докажите, что MO — биссектриса угла AMC.

В условии, вероятно, есть ошибка: приведённых данных недостаточно, чтобы доказать утверждение. Например, возьмём M = (0, 0), O = (0, 1), B = (1, 1), D = (−1, 1), A = (−1, 2), C = (1, 2). Тогда A, O, D лежат на одной прямой, B, O, C — на другой, а BO = OD = 1.

При этом углы OBM и ODM равны: оба составляют 45°. Однако лучи MA и MC образуют с MO углы 45° и 135° соответственно, поэтому MO не является биссектрисой угла AMC.

Следовательно, доказательство невозможно без уточнения условия: пришлите, пожалуйста, фотографию задания целиком или проверьте, правильно ли записаны равенство углов и отрезков.