4. На окружности взяты точки Е, К, В так, что в треугольнике ЕКB ∠E = ∠B. Найдите углы ДЕКВ, если хорда ЕК стягивает дугу в 106°.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. В данном случае, хорда ЕК стягивает дугу в 106°.

• Вписанный угол ∠EBK опирается на дугу EK, поэтому \( \angle EBK = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ} \).
• В треугольнике ЕКВ ∠E = ∠B. Так как \( \angle EBK = 53^{\circ} \), то и \( \angle KEB = 53^{\circ} \).
• Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол ∠EKB: \( \angle EKB = 180^{\circ} - (\angle KEB + \angle EBK) = 180^{\circ} - (53^{\circ} + 53^{\circ}) = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \).

Ответ: \( \angle KEB = 53^{\circ} \), \( \angle EBK = 53^{\circ} \), \( \angle EKB = 74^{\circ} \).