4. На рис. 164 пять точек лежат на одной прямой, причём BC меньше DE в 6 раз, DE больше CD в 2 раза, BC : AB = 1 : 8. Докажите, что точка C — середина отрезка AE.

Обозначим длину отрезка BC через x. По условию BC меньше DE в 6 раз, значит DE = 6x.

Так как DE в 2 раза больше CD, то CD = DE : 2 = 3x.

Из отношения BC : AB = 1 : 8 следует, что AB = 8x.

По рисунку точки расположены в порядке A, B, C, D, E. Поэтому AC = AB + BC = 8x + x = 9x, а CE = CD + DE = 3x + 6x = 9x.

Следовательно, AC = CE. Точка C лежит на отрезке AE и делит его на два равных отрезка, значит, C — середина AE.