4. На рис. 19 MNKL — параллелограмм, AL = CN, BM = DK. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Так как MNKL — параллелограмм, его диагонали ML и NK делятся точкой пересечения пополам, а противоположные стороны параллельны.

По рисунку точки B, M, L лежат на одной прямой, а N, K, D — на другой. Из ML ∥ NK следует BL ∥ ND. Равные отрезки BM и DK на этих параллельных прямых задают равные и одинаково направленные векторы: \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{KD}\). Поэтому \(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D}=\overrightarrow{M}+\overrightarrow{K}\).

У параллелограмма MNKL диагонали MK и NL имеют общую середину, поэтому \(\overrightarrow{M}+\overrightarrow{K}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{L}\). Значит, \(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{L}\).

Кроме того, A, L, D лежат на одной прямой, B, N, C — на другой; из \(AL=CN\) на рисунке следует \(\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{NC}\). Следовательно, \(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{N}\).

Итак, \(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D}\). Значит, диагонали AC и BD имеют общую середину. Четырёхугольник, диагонали которого делятся пополам, — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.