4. На рис. 29 ABCD — ромб, AE ⟂ BC, AF ⟂ CD. Покажите, что CE = CF.

В ромбе противоположные стороны параллельны и равны: AB ∥ CD, BC ∥ AD, AB = BC. Диагональ AC делит ромб на равные треугольники ABC и CDA, поэтому ∠BAC = ∠ACD.

Поскольку AE ⟂ BC и AB ∥ CD, угол между AB и AE равен 90°. Аналогично AF ⟂ CD, а BC ∥ AD. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACE и ACF. У них общая гипотенуза AC. Кроме того, острые углы ∠ACE и ∠CAF равны: первый образован AC и BC, второй — AC и AF; с учётом параллельности сторон и перпендикулярности высот эти углы равны. Значит, треугольники ACE и ACF равны по гипотенузе и острому углу.

Следовательно, соответствующие стороны CE и CF равны.

Доказано: CE = CF.