4. На рис. 99 (а—г) изображены окружности с центром в точке O, описанные около треугольника ABC. По данным на рисунке вычислите радиус описанной окружности: а) ∠B = 60°, AB = BC (отметки равных сторон), BC = 4√3; б) ∠B = 30°, AC = 6; в) ∠B = 135°, AC = 4√2; г) AB — диаметр окружности, AC = 12, CB = 5.

а) Так как \(AB=BC\) и угол между ними равен \(60^\circ\), треугольник равносторонний: \(AC=BC=4\sqrt{3}\). Радиус описанной окружности равен стороне, делённой на \(\sqrt{3}\): \(R=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\).

б) По теореме синусов для описанной окружности \(AC=2R\sin\angle B\). Следовательно, \(R=\dfrac{6}{2\sin30^\circ}=6\).

в) \(R=\dfrac{AC}{2\sin\angle B}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2\sin135^\circ}=4\).

г) Так как AB — диаметр, \(\angle ACB=90^\circ\). По теореме Пифагора \(AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\). Радиус равен половине диаметра: \(R=\dfrac{13}{2}\).

Ответ: а) 4; б) 6; в) 4; г) \(\dfrac{13}{2}\).