4. На рисунке 3 СК = 2 см, KD = 9 см, АК : КВ = 1 : 2. Найдите длину хорды АВ.

Задание 4. Длина хорды AB

Дано:

• Рисунок 3.
• CK = 2 см.
• KD = 9 см.
• AK : KB = 1 : 2.

Найти: длину хорды AB.

Решение:

1. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. В данном случае хорды CD и AB пересекаются в точке K.
3. Отрезки хорды CD: CK = 2 см, KD = 9 см.
4. Отрезки хорды AB: AK и KB.
5. По теореме: \( CK \cdot KD = AK \cdot KB \).
6. Подставим известные значения: \( 2 \cdot 9 = AK \cdot KB \).
7. \( 18 = AK \cdot KB \).
8. Нам дано соотношение \( AK : KB = 1 : 2 \). Пусть \( AK = x \), тогда \( KB = 2x \).
9. Подставим эти значения в уравнение: \( 18 = x \cdot (2x) \).
10. \( 18 = 2x^2 \).
11. Разделим обе части на 2: \( x^2 = 9 \).
12. Найдем x: \( x = \sqrt{9} = 3 \) см (длина не может быть отрицательной).
13. Таким образом, \( AK = x = 3 \) см.
14. \( KB = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \) см.
15. Длина хорды AB равна сумме отрезков AK и KB: \( AB = AK + KB \).
16. \( AB = 3 + 6 = 9 \) см.

Ответ: 9 см.