4. На рисунке AB = AD, CB = CD. Докажите, что О - середина BD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABD. По условию AB = AD. Это означает, что треугольник ABD является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Рассмотрим треугольник CBD. По условию CB = CD. Это означает, что треугольник CBD является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник ADC. У них стороны AB = AD (по условию), CB = CD (по условию), и сторона AC - общая.

Следовательно, треугольник ABC равен треугольнику ADC по трём сторонам (по признаку равенства треугольников – SSS).

Из равенства треугольников ABC и ADC следует, что угол BAC равен углу DAC, и угол BCA равен углу DCA.

В треугольнике ABD, AC является биссектрисой угла BAD (так как угол BAC = угол DAC). В равнобедренном треугольнике (AB=AD) биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой. Следовательно, точка пересечения AC с BD (точка O) будет серединой BD.

Альтернативное доказательство:

Рассмотрим треугольник BCD. Он равнобедренный (CB=CD). AC является биссектрисой угла BCD (так как угол BCA = угол DCA).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой. Следовательно, точка O, где AC пересекает BD, является серединой BD.

Что и требовалось доказать.