4. На рисунке ABCD — трапеция, а BCKH — прямоугольник; диагонали прямоугольника параллельны боковым сторонам трапеции. 1) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный. 2) Докажите, что AD = 3HK.

Обозначим длину стороны прямоугольника HK через w, а его высоту — через h. Возьмём координаты: H(0; 0), K(w; 0), B(0; h), C(w; h). Поскольку диагональ CH параллельна стороне AB, а диагональ BK параллельна стороне CD, продолжения этих прямых пересекают основание AD соответственно в точках A(−w; 0) и D(2w; 0).

1) В прямоугольных треугольниках ABK отрезки AB и BK — гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников с катетами w и h. Поэтому AB = BK = √(w² + h²), и треугольник ABK равнобедренный.

2) AD = 2w − (−w) = 3w. Так как HK = w, получаем AD = 3HK.

Ответ: треугольник ABK равнобедренный; AD = 3HK.