4. На рисунке ABCD — трапеция, AD = 38, MP — средняя линия трапеции; диагонали AC и BD пересекают MP в точках N и K, NK = 7. Найти: BC, MP.

Пусть основания трапеции равны \(BC=b\) и \(AD=38\). Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Диагонали пересекают её так, что отрезок между диагоналями равен половине разности оснований: \(NK=\frac{AD-BC}{2}\).

Подставим \(NK=7\): \(7=\frac{38-b}{2}\), откуда \(14=38-b\), поэтому \(b=24\). Значит, \(BC=24\).

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований: \(MP=\frac{AD+BC}{2}=\frac{38+24}{2}=31\).

Ответ: BC = 24, MP = 31.