4. На рисунке ABCD — трапеция, диагонали прямоугольника BCKH параллельны боковым сторонам трапеции. 1) Докажите, что △ABK — равнобедренный. 2) Докажите, что AD = 3BC.

Так как BCKH — прямоугольник, то BH = CK и HK = BC, а углы при H и K прямые. Трапеция имеет основания AD и BC, поэтому точки A, H, K, D лежат на одной прямой.

1) По условию AB ∥ CH. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHB и KHC. У них BH = CK, а острые углы ABH и KCH равны как углы с соответственно параллельными сторонами (AB ∥ CH и BH ∥ CK). Следовательно, треугольники равны, поэтому AB = HK.

Поскольку HK = BC, получаем AB = BC. Чтобы сравнить AB и BK, используем заданное также параллельное направление: BK ∥ CD. Рассмотрим прямоугольные треугольники BHK и CKD: BH = CK, а углы BKH и CKD равны как углы с соответственно параллельными сторонами (BK ∥ CD, KH и KD лежат на одной прямой). Значит, треугольники равны и BK = HK. Таким образом, AB = BK, поэтому △ABK равнобедренный.

2) Из равенства треугольников AHB и KHC следует AH = HK. Из равенства треугольников BHK и CKD следует KD = HK. Поэтому

AD = AH + HK + KD = HK + HK + HK = 3HK.

Так как HK = BC, получаем AD = 3BC.

Ответ: △ABK равнобедренный, AB = BK; AD = 3BC.