4. На рисунке ABCD — трапеция, M и P — середины боковых сторон AB и CD. Диагонали AC и BD пересекают MP в точках N и K; NK = 7, AD = 38. Найти: BC, MP.

Пусть \(BC=x\). Средняя линия трапеции делит диагонали на отрезках, причём расстояние между точками их пересечения с MP равно половине разности оснований:

\(NK=\dfrac{AD-BC}{2}\).

Подставим известные значения: \(7=\dfrac{38-x}{2}\), откуда \(14=38-x\) и \(x=24\).

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:

\(MP=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{38+24}{2}=31\).

Ответ: BC = 24, MP = 31.