4. На рисунке диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. AC = 20 см, BD = 16 см, сторона CD равна 6 см. Найдите периметр треугольника AOD.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

\(AO = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\) см;

\(OD = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(AB = CD = 6\) см.

По теореме параллелограмма:

\(AC^2 + BD^2 = 2(AD^2 + CD^2)\).

Подставим известные значения:

\(20^2 + 16^2 = 2(AD^2 + 6^2)\);

\(400 + 256 = 2(AD^2 + 36)\);

\(656 = 2AD^2 + 72\);

\(2AD^2 = 584\), поэтому \(AD^2 = 292\).

Исправление: в формуле для диагоналей параллелограмма стороны должны быть \(AD\) и \(AB\), причём \(AB=CD=6\). Тогда:

\(AD^2 = \frac{20^2+16^2}{2}-6^2=328-36=292\).

Однако для треугольника \(AOD\) сторона \(AD\) определяется из векторного соотношения и при данных на рисунке получается \(AD=16\) см; проверка: \(20^2+16^2=2(16^2+6^2)\) не выполняется. Следовательно, данные условия противоречивы: диагонали 20 см и 16 см и сторона 6 см не задают вещественный параллелограмм с указанными сторонами.

Ответ: данные задачи противоречивы; периметр треугольника AOD однозначно найти невозможно.