4. На рисунке изображен график функции у = f(x). По графику найдите:

Решение:

Проанализируем график функции:

• а) область определения функции: Это все допустимые значения аргумента x. На графике видно, что функция определена для всех x от -3 до 3.
• б) множество значений функции: Это все значения, которые функция принимает. На графике видно, что минимальное значение y равно -2, а максимальное равно 3.
• в) нули функции: Это точки, где график пересекает ось x (то есть y=0). График пересекает ось x в точках x = -2.5, x = -0.5 и x = 2.5.
• г) промежутки знакопостоянства функции: Участки, где функция положительна (выше оси x) или отрицательна (ниже оси x).
  • Функция положительна (f(x) > 0) на промежутках: (-3; -2.5) и (-0.5; 2.5).
  • Функция отрицательна (f(x) < 0) на промежутках: (-2.5; -0.5).
• д) промежутки возрастания и убывания функции: Участки, где функция растет или падает.
  • Функция возрастает (f'(x) > 0) на промежутках: (-2; 0) и (2; 3).
  • Функция убывает (f'(x) < 0) на промежутках: (-3; -2) и (0; 2).
• е) наибольшее и наименьшее значения функции: Максимальное и минимальное значения y на заданном промежутке.
  • Наибольшее значение функции: y = 3 (достигается при x=0).
  • Наименьшее значение функции: y = -2 (достигается при x=-2).

Ответ:

• а) Область определения: [-3; 3]
• б) Множество значений: [-2; 3]
• в) Нули функции: x ≈ -2.5, x ≈ -0.5, x ≈ 2.5
• г) Промежутки знакопостоянства: f(x) > 0 на (-3; -2.5) ∪ (-0.5; 2.5); f(x) < 0 на (-2.5; -0.5)
• д) Промежутки монотонности: Возрастает на (-2; 0) ∪ (2; 3); Убывает на (-3; -2) ∪ (0; 2)
• е) Наибольшее значение: 3; Наименьшее значение: -2