4. На рисунке отрезок MK параллелен стороне AC, луч MN является биссектрисой угла BMK. Найдите величину угла MNK.

Решение:

1. Угол BMK: Угол ∠BMK смежный с углом ∠AMB = 80°. Сумма смежных углов равна 180°.
• \[ \angle BMK = 180^{\circ} - \angle AMB \]
• \[ \angle BMK = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \]
2. Биссектриса MN: Луч MN делит угол ∠BMK пополам.
• \[ \angle KMN = \frac{\angle BMK}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \]
3. Параллельные прямые: MK || AC, а MN — секущая.
• \[ \angle KMN = \angle MNA \]
4. Угол ANM: Угол ∠ANM равен углу ∠KMN, так как они накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей MN.
• \[ \angle ANM = 50^{\circ} \]
5. Угол MNK: Угол ∠MNK является частью угла ∠ANK. Также, MK || AC, а BN — секущая.
• \[ \angle MKB = \angle KAC \]
• \[ \angle KMN = 50^{\circ} \]
• Угол ∠MNK: Угол ∠MNK мы ищем.
• Рассмотрим треугольник AKC: Угол ∠AKC = 40°, угол ∠CAK = 80°.
• \[ \angle ACK = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]
• Рассмотрим треугольник BMN: Угол ∠BMN = 50°.
• Рассмотрим треугольник MNK:
• \[ \angle NKM \text{ (или } \angle AKN) \text{ не известен} \]
• \[ \angle KMN = 50^{\circ} \]
• \[ \angle MNK = ? \]
• Параллельные прямые MK и AC. Луч MN — секущая. Следовательно, накрест лежащие углы равны.
• \[ \angle KMN = \angle ANM \]
• \[ \angle ANM = 50^{\circ} \]
• Угол MNK и угол ANM смежные, их сумма 180°.
• \[ \angle MNK + \angle ANM = 180^{\circ} \]
• \[ \angle MNK + 50^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \angle MNK = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \]
• Важное замечание: На рисунке угол ∠AMK = 80°, следовательно, ∠BMK = 180° - 80° = 100°. MN - биссектриса, поэтому ∠KMN = 100° / 2 = 50°.
• Так как MK || AC, то ∠MNK и ∠KMN являются накрест лежащими углами при секущей MN.
• Поэтому ∠MNK = ∠KMN.
• \[ \angle MNK = 50^{\circ} \]

Ответ: 50°