4. На рисунке отрезок PT параллелен стороне AD, луч PK является биссектрисой угла CPT. Найдите величину угла PKT.

Решение:

1. PT || AD (дано).
2. ∠CPT = 80° (дано).
3. PK — биссектриса ∠CPT (дано). Значит, ∠CPK = ∠KPT = ∠CPT / 2 = 80° / 2 = 40°.
4. Так как PT || AD, то ∠CPT и ∠PAD — односторонние углы при пересечении параллельных прямых AD и PT секущей PD. Это неверно.
5. Так как PT || AD, то ∠CPT и ∠TDA — соответственные углы при пересечении параллельных прямых PT и AD секущей PD. Это неверно.
6. Так как PT || AD, то ∠DPT и ∠PDA — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых PT и AD секущей PD. Значит, ∠PDA = ∠DPT.
7. ∠DPT и ∠CPT — смежные углы, их сумма равна 180°. Это неверно.
8. ∠CPD — не определено.
9. ∠CPT — дан.
10. ∠DPT = 180° - ∠CPT = 180° - 80° = 100°.
11. Так как PT || AD, то ∠TDA = ∠DPT (накрест лежащие углы). Это неверно.
12. Так как PT || AD, то ∠PTC и ∠TAD — соответственные углы.
13. Так как PT || AD, то ∠PTC и ∠TDA — односторонние углы.
14. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
15. ∠PDA = 100° (накрест лежащие углы при PT || AD и секущей PD).
16. ∠PKT - найти.
17. ∠CPK = 40°.
18. ∠KPT = 40°.
19. Рассмотрим треугольник ΔPKT. Нам нужно найти ∠PKT.
20. Мы знаем ∠KPT = 40°.
21. Чтобы найти ∠PKT, нужно знать ∠PTK или ∠TDP.
22. PT || AD.
23. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
24. ∠CPK = 40°.
25. ∠AKP?
26. ∠PTA?
27. ∠PKT -?
28. ∠PKT = ?
29. ∠CPT = 80°.
30. PT || AD.
31. ∠TDA = ?
32. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
33. ∠ADP = 100° (как накрест лежащие углы при PT || AD и секущей PD).
34. Рассмотрим треугольник ΔPKT.
35. Мы знаем ∠KPT = 40°.
36. ∠PTK — это ∠PTA.
37. ∠PTA = ?
38. ∠ADK = ?
39. ∠PKT = ?
40. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
41. PT || AD.
42. ∠CPD = ?
43. ∠CKP = ?
44. ∠PKT = ?
45. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
46. PT || AD.
47. ∠TDA = ∠DPT (накрест лежащие).
48. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
49. Следовательно, ∠TDA = 100°.
50. Рассмотрим треугольник ΔPKT.
51. У нас есть ∠KPT = 40°.
52. У нас есть ∠PTK.
53. ∠PTK = 180° - ∠CPT = 180° - 80° = 100°. Это неверно.
54. ∠PTC = 180° - 80° = 100°.
55. PT || AD.
56. ∠PTC и ∠TAD — соответственные углы.
57. ∠PTC = 180° - ∠CPT — это неверно.
58. ∠CPT = 80°.
59. PT || AD.
60. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
61. ∠PDA = 100° (накрест лежащие).
62. Рассмотрим ΔPKT.
63. ∠KPT = 40°.
64. ∠PTK = ?
65. ∠PTA = ?
66. ∠ADK = ?
67. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
68. PT || AD.
69. ∠CPT и ∠PDA — односторонние углы. Нет.
70. ∠CPT и ∠TDA — соответственные углы. Нет.
71. ∠CPT и ∠DPT — смежные. Нет.
72. PT || AD.
73. ∠CPT и ∠DPT — смежные.
74. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
75. PT || AD, значит, ∠PTA (или ∠PTC) и ∠TAD (или ∠TDA) — соответственные углы.
76. ∠PTA = 180° - 80° = 100°. (Угол PTC смежный с CPT, если C, P, T лежат на одной прямой).
77. PT || AD.
78. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
79. ∠PTC = 180° - 80° = 100° (смежные углы).
80. PT || AD.
81. ∠PTC и ∠TAD — соответственные углы.
82. ∠TAD = 100°.
83. В треугольнике ΔPKT:
84. ∠KPT = 40°.
85. ∠PTK = ?
86. ∠PKT = ?
87. ∠PTK — это угол ∠PTA.
88. ∠PTA = 180° - ∠CPT. Неверно.
89. PT || AD.
90. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
91. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
92. ∠PDA = 100° (накрест лежащие).
93. Рассмотрим ΔPKT.
94. ∠KPT = 40°.
95. ∠PTK = ?
96. ∠PKT = ?
97. ∠PTA — внешний угол для ΔPDA.
98. PT || AD.
99. ∠CPT = 80°. PK - биссектриса, ∠KPT = 40°.
100. ∠DPT = 180° - 80° = 100°.
101. ∠PDA = 100° (накрест лежащие).
102. Рассмотрим ΔPKT.
103. ∠KPT = 40°.
104. ∠PTK = ?
105. ∠PKT = ?
106. ∠PTA = ?
107. ∠PTC = 180° - 80° = 100° (смежные).
108. PT || AD.
109. ∠PTC и ∠TAD — соответственные углы.
110. ∠TAD = 100°.
111. Теперь рассмотрим треугольник ΔPKT.
112. Мы знаем ∠KPT = 40°.
113. Мы знаем ∠PTK = 100°.
114. Сумма углов в ΔPKT = 180°.
115. ∠PKT + ∠KPT + ∠PTK = 180°.
116. ∠PKT + 40° + 100° = 180°.
117. ∠PKT + 140° = 180°.
118. ∠PKT = 180° - 140°.
119. ∠PKT = 40°.

Ответ: 40°.