4. На рисунке трапеция ABCD, AB = CD, M и P — середины боковых сторон (это показано засечками). Известно, что AD = 38, а NK = 7. Найти: BC, MP.

Так как AB = CD, трапеция равнобедренная, а её диагонали симметричны. Отрезок MP, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия трапеции, поэтому \(MP=(AD+BC)/2\).

Обозначим точку пересечения диагоналей через O. В равнобедренной трапеции она лежит на оси симметрии; поэтому на средней линии отрезки MN и KP равны, а расстояние между точками пересечения диагоналей со средней линией равно разности оснований пополам: \(NK=(AD-BC)/2\).

Подставим данные: \(7=(38-BC)/2\), откуда \(14=38-BC\), значит \(BC=24\).

Теперь \(MP=(38+24)/2=31\).

Ответ: BC = 24, MP = 31.