4. На рисунке трапеция ABCD, AD = 32, средняя линия MP пересекает диагонали AC и BD в точках N и K; отрезок NK = 6. Найти: BC, MP.

Обозначим основания трапеции: \(AD=32\), \(BC=x\). По засечкам \(M\) и \(P\) — середины боковых сторон, поэтому \(MP\) — средняя линия трапеции.

В трапеции средняя линия пересекает каждую диагональ в её середине. Поэтому отрезок между точками пересечения диагоналей со средней линией равен половине разности оснований:

\(NK=\dfrac{AD-BC}{2}\).

Подставим данные: \(6=\dfrac{32-x}{2}\), откуда \(12=32-x\), значит \(x=20\).

Теперь найдём среднюю линию: \(MP=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{32+20}{2}=26\).

Ответ: \(BC=20\), \(MP=26\).