4. На рисунке трапеция ABCD, AD = 38, MP — средняя линия, диагонали AC и BD пересекают MP в точках N и K; NK = 7. Найти: BC, MP.

Поскольку MP — средняя линия трапеции, M и P — середины её боковых сторон, а MP параллельна основаниям.

Точки N и K — середины диагоналей: средняя линия пересекает каждую диагональ на половине её длины. Поэтому отрезок между точками пересечения диагоналей со средней линией равен половине разности оснований:

\(NK = (AD - BC) : 2\).

Подставим данные: \(7 = (38 - BC) : 2\), значит \(14 = 38 - BC\), откуда \(BC = 24\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(MP = (AD + BC) : 2 = (38 + 24) : 2 = 31\).

Ответ: BC = 24; MP = 31.