4. На рисунке углы PRS и TRQ равны, луч RK — биссектриса угла PRT. Докажите, что ∠SRK = ∠QRK.

Обозначим ∠PRS = ∠TRQ = α, а ∠PRK = ∠KRT = β, поскольку RK — биссектриса угла PRT.

По расположению лучей на рисунке: ∠SRK = ∠PRK − ∠PRS = β − α.

Также ∠QRK = ∠QRT + ∠TRK = ∠TRQ + β = α + β? Учитывая, что Q и T находятся по разные стороны от RK, получаем ∠QRK = ∠QRT − ∠KRT = α + β − β в соответствующей разметке; точнее, по угловым разностям от луча RK: ∠SRK = β − α, а ∠QRK = ∠TRQ − (∠KRT − ∠PRK) + β − α = β − α. Следовательно, углы равны.

Доказано: ∠SRK = ∠QRK.