4. На рисунке З СК = 2 см, КD = 9 см, AK: KB=1:2. Найдите длину хорды АВ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о секущей и касательной, проведённой из одной точки к окружности. Пусть точка К — точка пересечения хорды AB и отрезка CD.

По условию СК = 2 см, KD = 9 см. Длина всей хорды CD равна СК + KD = 2 + 9 = 11 см.

Также по условию AK : KB = 1 : 2. Пусть AK = x, тогда KB = 2x.

По теореме о пересекающихся хордах (или секущих, если считать, что точка К находится вне окружности, но по рисунку она внутри), произведение отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равно:

AK \(\cdot\) KB = СК \(\cdot\) KD

x \(\cdot\) (2x) = 2 \(\cdot\) 9

2x² = 18

x² = 9

x = 3 см (так как длина не может быть отрицательной).

Таким образом, AK = 3 см, а KB = 2 \(\cdot\) 3 = 6 см.

Длина хорды AB равна AK + KB = 3 + 6 = 9 см.

Ответ: 9 см.