4. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD отмечены точки M, N, P, K так, что AM = BN = CP = DK. Докажите, что четырёхугольник MNPK — квадрат.

Пусть сторона квадрата ABCD равна \(a\), а \(AM=BN=CP=DK=t\), где \(0<t<a\).

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a,a)\), \(D(0,a)\). Тогда:

\(M(t,0)\), \(N(a,t)\), \(P(a-t,a)\), \(K(0,a-t)\).

1. Найдём векторы соседних сторон четырёхугольника:

\[\overrightarrow{MN}=(a-t,t),\qquad \overrightarrow{NP}=(-t,a-t).\]

2. Проверим перпендикулярность соседних сторон:

\[\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NP}=(a-t)(-t)+t(a-t)=0.\]

Следовательно, \(MN\perp NP\).

3. Проверим равенство длин соседних сторон:

\[MN^2=(a-t)^2+t^2,\qquad NP^2=(-t)^2+(a-t)^2.\]

Значит, \(MN=NP\).

Четырёхугольник MNPK имеет равные соседние стороны и прямой угол. Следовательно, он является квадратом.

Ответ: четырёхугольник MNPK — квадрат.