4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что AF : FB = 1 : 4, BE : EC = 1 : 3. Выразите вектор EF через векторы AB = a и AD = b.

Так как \(AF:FB=1:4\), точка F делит AB в отношении 1:4, поэтому \(\overrightarrow{AF}=\frac15\vec a\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Из \(BE:EC=1:3\) следует, что \(\overrightarrow{BE}=\frac14\vec b\).

Сложим векторы по пути от E к F через B и A:

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=-\frac14\vec b-\vec a+\frac15\vec a=-\frac45\vec a-\frac14\vec b.\)

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=-\frac45\vec a-\frac14\vec b\).