№ 4. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 104°. Найдите остальные углы треугольника ABC. ∠BAC = ___°, ∠ABC = ___°.

Так как CP = PQ, треугольник CPQ равнобедренный. Кроме того, CP = PQ = CQ? Нет, CQ не указано, поэтому равносторонним этот треугольник считать нельзя. Используем также расположение точек: CQ лежит на луче CB, а P лежит на AB.

Обозначим ∠BAC = A, ∠ABC = B. Тогда A + B = 180° − 104° = 76°.

Из AC = CP следует, что треугольник ACP равнобедренный, поэтому ∠CAP = ∠APC. Поскольку P лежит на AB, ∠CAP = ∠BAC = A, значит ∠APC = A.

Точки A, P, B лежат на одной прямой, поэтому ∠CPB = 180° − A. А так как PQ = CP, треугольник CPQ равнобедренный, и ∠PCQ = ∠CQP.

Поскольку Q лежит на BC, ∠PCQ = ∠PCB. Угол ACB состоит из углов ACP и PCB. В треугольнике ACP ∠ACP = 180° − 2A, поэтому ∠PCB = 104° − (180° − 2A) = 2A − 76°.

Из равнобедренности CPQ получаем ∠CPQ = 180° − 2(2A − 76°) = 332° − 4A. Углы CPB и CPQ смежные, так как PB и PA — противоположные лучи, а нужное соотношение с лучом PQ даёт решение с учётом ∠CPB = 180° − A: ∠CPQ = 180° − A. Следовательно, 332° − 4A = 180° − A, откуда A = 50⅔°.

Однако это противоречит исходной конфигурации: данное условие не задаёт CQ, а равенства AC = CP = PQ = QB сами по себе не определяют углы однозначно. Для проверки: в треугольнике CPQ равны только CP и PQ; угол при C зависит от длины CQ. Таким образом, без дополнительного условия или чертежа искомые углы однозначно определить нельзя.

Ответ: данных недостаточно для однозначного определения ∠BAC и ∠ABC.