4. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, а CM = 4 см.

а) В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(AD=BC\) и \(AD\parallel BC\). Так как точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), то \(BM\parallel AD\). Следовательно, \(\angle BMA=\angle MAD\) как соответственные углы при пересечении параллельных прямых \(BM\) и \(AD\) секущей \(AM\).

По условию \(AB=BM\), поэтому треугольник \(ABM\) равнобедренный, и его углы при основании равны: \(\angle BAM=\angle BMA\). Значит, \(\angle BAM=\angle MAD\), следовательно, \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\).

б) \(CD=AB=8\) см. Поскольку \(BC=BM+CM\), получаем \(BC=8+4=12\) см. Тогда периметр параллелограмма:

\[P=2(AB+BC)=2(8+12)=40\text{ см}.\]

Ответ: \(P=40\) см.