4. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Положим начало в точке B. Тогда \(\overrightarrow{BA}=x\), \(\overrightarrow{BC}=y\), а \(\overrightarrow{BD}=x+y\), поскольку ABCD — квадрат.

Точка O — середина диагонали AC, поэтому её радиус-вектор относительно B равен полусумме радиус-векторов A и C: \(\overrightarrow{BO}=\frac{x+y}{2}\).

P — середина CD. Так как \(\overrightarrow{BC}=y\), а \(\overrightarrow{CD}=x\), получаем \(\overrightarrow{BP}=y+\frac{x}{2}\).

Наконец, \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=x-(y+\frac{x}{2})=\frac{x}{2}-y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac{x+y}{2}\), \(\overrightarrow{BP}=\frac{x}{2}+y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac{x}{2}-y\).