4. Напряжение между точками А и В участка электрической цепи (см. рисунок) равно 18 В. Каковы силы токов, текущих по проводникам R1, R2 и R3? a) I₁ = I₂ = 2A; I₃ = 3 A б) I₁ = I₃ = 1,5 A; I₂ = 3 A в) I₁ = I₂ = 3 A; I₃ = 6 A г) I₁ = I₂ = 1,5 A; I₃ = 3 A

Решение:

Сначала найдем общее сопротивление участка цепи AB.

Сопротивления R₂ и R₃ соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление \(R_{23}\):

\[ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{12 \text{ Ом} \cdot 6 \text{ Ом}}{12 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{72}{18} \text{ Ом} = 4 \text{ Ом} \]

Теперь R₁ и R_{23} соединены последовательно. Общее сопротивление участка AB:

\[ R_{AB} = R_1 + R_{23} = 12 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} = 16 \text{ Ом} \]

Зная общее напряжение \(U_{AB} = 18\) В и общее сопротивление \(R_{AB} = 16\) Ом, найдем общий ток в цепи:

\[ I_1 = I_{AB} = \frac{U_{AB}}{R_{AB}} = \frac{18 \text{ В}}{16 \text{ Ом}} = 1.125 \text{ A} \]

Ток \(I_1\) является током, протекающим через резистор \(R_1\).

Напряжение на участке, где параллельно соединены \(R_2\) и \(R_3\):

\[ U_{23} = I_1 \cdot R_{23} = 1.125 \text{ A} \cdot 4 \text{ Ом} = 4.5 \text{ В} \]

Ток через резистор \(R_2\):

\[ I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{4.5 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} = 0.375 \text{ A} \]

Ток через резистор \(R_3\):

\[ I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{4.5 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = 0.75 \text{ A} \]

Перепроверим варианты ответов.

Проверим вариант г): \(I_1 = 1.5\) А, \(I_2 = 1.5\) А, \(I_3 = 3\) А.

Если \(I_1 = 1.5\) А, то \(U_{AB} = I_1 \cdot R_{AB} = 1.5 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 24 \text{ В}\). Это не соответствует условию \(U_{AB} = 18\) В.

Давайте перечитаем условие задачи и предположим, что на схеме резисторы имеют сопротивление R, 2R, R/2, R/2. Но в данном случае сопротивления указаны числами.

Попробуем найти ошибку в расчетах или условиях. Если \(I_1 = 2\) А, то \(U_{AB} = 2 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 32\) В. Не подходит.

Если \(I_1 = 3\) А, то \(U_{AB} = 3 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 48\) В. Не подходит.

Если \(I_1 = 1.5\) А, то \(U_{AB} = 1.5 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 24\) В. Не подходит.

Возможно, в задании есть ошибка или не все данные предоставлены.

Давайте предположим, что в вариантах ответов указаны не токи, а другие параметры, или что рисунок не соответствует задаче.

Перечитаем задачу. Напряжение 18В. R1 = 12 Ом, R2 = 12 Ом, R3 = 6 Ом.

Найдем общий ток, если напряжение 18В, а общее сопротивление 16 Ом:

\[ I_{AB} = \frac{18 \text{ В}}{16 \text{ Ом}} = 1.125 \text{ A} \]

Тогда \(I_1 = 1.125\) А.

Напряжение на параллельном участке \(U_{23} = I_1 \cdot R_{23} = 1.125 \text{ A} \cdot 4 \text{ Ом} = 4.5 \text{ В}\).

Тогда \(I_2 = \frac{4.5 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} = 0.375 \text{ A}\).

И \(I_3 = \frac{4.5 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = 0.75 \text{ A}\).

Сумма токов \(I_2 + I_3 = 0.375 + 0.75 = 1.125\) А, что равно \(I_1\).

Ни один из предложенных вариантов не совпадает с нашими расчетами.

Давайте предположим, что вопрос задачи другой, или цифры на схеме относятся к другой задаче.

Если предположить, что \(I_1\) — это общий ток, а \(I_2\) и \(I_3\) — токи в параллельных ветвях. И если \(I_1 = 1.5\) А (из варианта г), то \(U_{AB} = 1.5 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 24\) В. Это не 18 В.

Если предположить, что \(I_1 = 2\) А (из варианта а), то \(U_{AB} = 2 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 32\) В. Это не 18 В.

Если предположить, что \(I_1 = 3\) А (из варианта в), то \(U_{AB} = 3 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 48\) В. Это не 18 В.

Рассмотрим вариант г) \(I_1 = I_2 = 1.5\) А, \(I_3 = 3\) А.

Если \(I_1=1.5\) А, то \(R_{AB}\) должно быть \(18 \text{ В} / 1.5 \text{ А} = 12\) Ом. Но \(R_{AB} = 16\) Ом.

Давайте пересмотрим задачу 5, она кажется проще и дает варианты с R.

Задача 5:

Сопротивление двух резисторов \(R\) соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление:

\[ R_{параллельное} = \frac{R R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2} \]

Этот параллельный участок соединен последовательно с резистором \(R/2\).

Общее сопротивление участка AB:

\[ R_{AB} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R \]

Вариант ответа — \(R\). Это соответствует варианту б).

Задача 6:

От металлического провода отрезали кусок, длина которого составила 1/5 его общей длины. Сопротивление оставшейся части провода.

Сопротивление провода пропорционально его длине. Если \(R_{общ}\) — общее сопротивление, а \(L_{общ}\) — общая длина, то \(R = \rho \frac{L}{S}\).

Отрезали \(\frac{1}{5}\) длины, значит, осталось \(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) длины.

Сопротивление оставшейся части будет \(\frac{4}{5}\) от общего сопротивления.

\[ R_{ост} = \frac{4}{5} R_{общ} \]

Это означает, что сопротивление уменьшилось. Во сколько раз?

\[ \frac{R_{ост}}{R_{общ}} = \frac{\frac{4}{5} R_{общ}}{R_{общ}} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

Сопротивление уменьшилось в \(\frac{1}{0.8} = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4} = 1.25\) раза.

Это соответствует варианту а) уменьшилось в 1,25 раза.

Возвращаясь к задаче 4:

Если мы не можем получить правильный ответ из предложенных вариантов, значит, либо в условии есть ошибка, либо в вариантах ответов, либо в схеме. Однако, задачи 5 и 6 решаются однозначно.

Давайте предположим, что в задаче 4 даны не значения сопротивлений, а символьные обозначения, как в задаче 5.

Если предположить, что \(R_1 = R, R_2 = R, R_3 = R/2\), то \(R_{23} = \frac{R R/2}{R + R/2} = \frac{R^2/2}{3R/2} = \frac{R}{3}\). Тогда \(R_{AB} = R + R/3 = 4R/3\).

Если \(U_{AB} = 18\) В, \(I_1 = 18 / (4R/3) = 54 / (4R) = 13.5/R\).

\(U_{23} = I_1 \cdot R_{23} = (13.5/R) \cdot (R/3) = 4.5\) В. Это совпадает с предыдущим расчетом напряжения на параллельном участке.

\(I_2 = U_{23} / R_2 = 4.5 / R\).

\(I_3 = U_{23} / R_3 = 4.5 / (R/2) = 9/R\).

\(I_2 + I_3 = 4.5/R + 9/R = 13.5/R\), что равно \(I_1\).

Если \(R=12\) Ом, то \(I_1 = 13.5/12 = 1.125\) А. \(I_2 = 4.5/12 = 0.375\) А. \(I_3 = 9/12 = 0.75\) А. Это те же результаты.

Единственный вариант, который мог бы быть близким, это когда \(I_1 = I_2\) или \(I_1 = I_3\), или \(I_2 = I_3\).

В варианте г) \(I_1 = I_2 = 1.5\) А, \(I_3 = 3\) А. Тогда \(I_2+I_3 = 4.5\) А. Значит, \(I_1 = 4.5\) А. Но в варианте \(I_1 = 1.5\) А. Противоречие.

В варианте а) \(I_1 = I_2 = 2\) А, \(I_3 = 3\) А. Тогда \(I_1 = I_2 + I_3 = 2 + 3 = 5\) А. Но \(I_1 = 2\) А. Противоречие.

В варианте б) \(I_1 = I_3 = 1.5\) А, \(I_2 = 3\) А. Тогда \(I_1 = I_2 + I_3 = 3 + 1.5 = 4.5\) А. Но \(I_1 = 1.5\) А. Противоречие.

В варианте в) \(I_1 = I_2 = 3\) А, \(I_3 = 6\) А. Тогда \(I_1 = I_2 + I_3 = 3 + 6 = 9\) А. Но \(I_1 = 3\) А. Противоречие.

Похоже, что в задаче 4 допущена существенная ошибка в вариантах ответов или в условии. Исходя из предоставленных данных и стандартных правил электрических цепей, ни один из вариантов не является верным.

Если бы \(I_1 = 1.5\) А, то \(U_{AB} = 1.5 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 24\) В. Если бы \(U_{AB} = 18\) В, то \(I_1 = 1.125\) А.

Предположим, что в варианте г) \(I_3\) является общим током, а \(I_1\) и \(I_2\) — токами в параллельных ветвях. То есть \(I_3 = 1.5\) А, \(I_1 = 1.5\) А, \(I_2 = 3\) А. Тогда \(I_3 = I_1 + I_2 = 1.5 + 3 = 4.5\) А. Это не совпадает.

Предположим, что вариант г) верен, если бы \(I_1 = 1.5\) А, \(I_2 = 1.5\) А, \(I_3 = 3\) А. Это означало бы, что \(I_1\) — это ток в одном из параллельных участков, и \(I_2\) — ток в другом параллельном участке, а \(I_3\) — это общий ток. Но по схеме \(I_1\) — это общий ток, а \(I_2\) и \(I_3\) — токи в параллельных ветвях. И \(I_1 = I_2 + I_3\).

Если принять вариант г) как верный: \(I_1 = 1.5\) А, \(I_2 = 1.5\) А, \(I_3 = 3\) А. Тогда \(I_1 \neq I_2 + I_3\) \(1.5 \neq 1.5 + 3\).

Единственный вариант, где \(I_1 \neq I_2\) и \(I_1 \neq I_3\), это когда \(R_1\) отличается от \(R_2\) и \(R_3\) или когда \(R_2 \neq R_3\).

В задаче \(R_1 = 12\) Ом, \(R_2 = 12\) Ом, \(R_3 = 6\) Ом. Значит, \(I_2\) и \(I_3\) НЕ могут быть равны, так как \(R_2 \neq R_3\).

Таким образом, варианты а), б), г) где \(I_1 = I_2\) или \(I_1 = I_3\) или \(I_2 = I_3\) — некорректны.

Остается вариант в): \(I_1 = I_2 = 3\) А, \(I_3 = 6\) А. Здесь \(I_1 \neq I_3\). Но \(I_1 \neq I_2\) и \(I_2 \neq I_3\).

Если \(I_1 = 3\) А, то \(U_{AB} = 3 \text{ A} \cdot 16 \text{ Ом} = 48 \text{ В}\).

Если \(I_2 = 3\) А, то \(U_{23} = I_2 \cdot R_2 = 3 \text{ A} \cdot 12 \text{ Ом} = 36\) В.

Если \(I_3 = 6\) А, то \(U_{23} = I_3 \cdot R_3 = 6 \text{ A} \cdot 6 \text{ Ом} = 36\) В.

Итак, если \(I_2 = 3\) А и \(I_3 = 6\) А, то \(U_{23} = 36\) В. Тогда общий ток \(I_1 = I_2 + I_3 = 3 + 6 = 9\) А. Но в варианте в) \(I_1 = 3\) А. Противоречие.

Сделан вывод, что задача 4 некорректна. Продолжим с задачами 5 и 6, которые решаются.

Задача 5.

Два резистора \(R\) соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление \(R_{п} = \frac{R R}{R + R} = \frac{R}{2}\).

Этот параллельный участок соединен последовательно с резистором \(R/2\).

Общее сопротивление участка AB: \(R_{AB} = R_{п} + R/2 = R/2 + R/2 = R\).

Ответ: б) R

Задача 6.

Сопротивление провода пропорционально его длине. Если отрезали \(\frac{1}{5}\) длины, то осталось \(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) длины.

Сопротивление оставшейся части будет \(\frac{4}{5}\) от начального сопротивления.

\(R_{ост} = \frac{4}{5} R_{нач}\).

Сопротивление уменьшилось в \(\frac{R_{нач}}{R_{ост}} = \frac{R_{нач}}{\frac{4}{5} R_{нач}} = \frac{5}{4} = 1.25\) раза.

Ответ: а) уменьшилось в 1,25 раза.