4. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, и опишите его.

Объяснение:

Геометрическое место точек — это множество всех точек, обладающих определённым свойством.

Рассмотрим отрезок AB. Нам нужно найти все точки M, для которых расстояние от M до A равно расстоянию от M до B (MA = MB).

1. Геометрический смысл:

Если мы возьмем середину отрезка AB, обозначим ее точкой O, то любая точка на прямой, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину O, будет равноудалена от концов отрезка A и B.

2. Доказательство:

Пусть L — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Возьмем любую точку M на прямой L.

• Рассмотрим треугольники ΔAOM и ΔBOM, где O — середина AB.
• AO = BO (потому что O — середина AB).
• MO — общая сторона.
• ∠AOM = ∠BOM = 90° (потому что L — перпендикуляр).
• Следовательно, треугольники ΔAOM и ΔBOM равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку СУС).
• Из равенства треугольников следует, что AM = BM.

3. Обратное утверждение:

Теперь покажем, что если точка M равноудалена от концов отрезка AB (AM = BM), то она лежит на серединном перпендикуляре.

• Рассмотрим треугольники ΔAMB. Так как AM = BM, то этот треугольник — равнобедренный.
• Проведем медиану MO из вершины M к основанию AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
• Следовательно, MO ⊥ AB и O — середина AB.
• Таким образом, точка M лежит на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной ему, то есть на серединном перпендикуляре.

Описание:

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку.