4. Найдите lg x, если x =

Решение:

Чтобы найти \( \text{lg } x \), нам нужно упростить выражение для \( x \).

Дано:

\( x = \sqrt[3]{\frac{n}{\sqrt{n \cdot m}}} \cdot \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} \)

Упростим первое слагаемое:

\( \sqrt[3]{\frac{n}{\sqrt{n \cdot m}}} = \left( \frac{n}{(n \cdot m)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{n}{n^{\frac{1}{2}} \cdot m^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n^{1-\frac{1}{2}} \cdot m^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n^{\frac{1}{2}} \cdot m^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = n^{\frac{1}{6}} \cdot m^{-\frac{1}{6}} \)

Упростим второе слагаемое:

\( \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} = \left( \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{4}} = \frac{n^{\frac{1}{4}}}{m^{\frac{1}{4}}} = n^{\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{4}} \)

Теперь перемножим упрощенные слагаемые:

\( x = \left( n^{\frac{1}{6}} \cdot m^{-\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( n^{\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{4}} \right) = n^{\frac{1}{6} + \frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{6} - \frac{1}{4}} \)

Найдем сумму степеней для \( n \):

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \)

Найдем сумму степеней для \( m \):

\( -\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = -\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right) = -\frac{5}{12} \)

Таким образом, \( x \) можно записать как:

\( x = n^{\frac{5}{12}} \cdot m^{-\frac{5}{12}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{5}{12}} \)

Теперь найдем \( \text{lg } x \):

\( \text{lg } x = \text{lg} \left( \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{5}{12}} \right) \)

Используем свойство логарифма \( \text{lg } a^b = b \cdot \text{lg } a \):

\( \text{lg } x = \frac{5}{12} \cdot \text{lg} \left( \frac{n}{m} \right) \)

Используем свойство логарифма \( \text{lg} \frac{a}{b} = \text{lg } a - \text{lg } b \):

\( \text{lg } x = \frac{5}{12} \left( \text{lg } n - \text{lg } m \right) \)

Ответ: \( \text{lg } x = \frac{5}{12} \left( \text{lg } n - \text{lg } m \right) \).