4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: f(x)=2x³-3x² - 12х + 1 на отрезке [4; 5]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) на отрезке \( [4; 5] \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \).
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \) \( x^2 - x - 2 = 0 \) \( (x - 2)(x + 1) = 0 \) \( x = 2 \) или \( x = -1 \).
3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок \( [4; 5] \). Ни \( x = 2 \), ни \( x = -1 \) не принадлежат этому отрезку.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   • При \( x = 4 \): \( f(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 2(64) - 3(16) - 48 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33 \)
   • При \( x = 5 \): \( f(5) = 2(5)^3 - 3(5)^2 - 12(5) + 1 = 2(125) - 3(25) - 60 + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116 \)
5. Сравним полученные значения. Наибольшее значение равно 116, наименьшее — 33.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [4; 5] равно 116, наименьшее значение равно 33.