4. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 3x² + 18x + 7 на промежутке [-5; -1].

Решение:

Найдём наименьшее значение квадратичной функции \( f(x) = 3x^2 + 18x + 7 \) на отрезке \( [-5; -1] \).

1. Найдём вершину параболы. Координата \( x \) вершины находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a = 3 \) и \( b = 18 \).
2. \( x_в = -\frac{18}{2 \cdot 3} = -\frac{18}{6} = -3 \).
3. Так как \( x_в = -3 \) попадает в промежуток \( [-5; -1] \), то наименьшее значение функции будет в вершине.
4. Вычислим значение функции в вершине:
5. \( f(-3) = 3(-3)^2 + 18(-3) + 7 = 3(9) - 54 + 7 = 27 - 54 + 7 = -20 \).
6. Для полноты картины вычислим значения функции на концах промежутка:
7. \( f(-5) = 3(-5)^2 + 18(-5) + 7 = 3(25) - 90 + 7 = 75 - 90 + 7 = -8 \).
8. \( f(-1) = 3(-1)^2 + 18(-1) + 7 = 3(1) - 18 + 7 = 3 - 18 + 7 = -8 \).
9. Сравнивая значения \( f(-3) = -20 \), \( f(-5) = -8 \) и \( f(-1) = -8 \), видим, что наименьшее значение равно -20.

Ответ: -20.