4. Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна \(6\pi\), а угол сектора равен \(120^\circ\). В ответе укажите площадь, делённую на \(\pi\).

Длина дуги выражается формулой \(l=r\theta\), где угол \(\theta\) измеряется в радианах. Переведём угол: \(120^\circ=\frac{2\pi}{3}\).

Находим радиус: \(6\pi=r\cdot\frac{2\pi}{3}\), поэтому \(r=9\).

Площадь сектора равна \(S=\frac{120}{360}\pi r^2=\frac13\pi\cdot81=27\pi\).

Ответ: \(27\).