4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

Question

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

Accepted Answer

Решение:

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, разобьём его на составляющие прямоугольники и посчитаем площадь каждой грани. Нам нужно учесть все внешние грани.

1. Нижняя часть:

Длина = 11, Ширина = 6, Высота = 4.
Площадь основания (видимая часть): \( 11 \times 6 = 66 \).
Площадь боковых стенок: \( 2 \times (11 \times 4) + 2 \times (6 \times 4) = 2 \times 44 + 2 \times 24 = 88 + 48 = 136 \).

2. Верхняя часть (ступенька):

Длина = 4, Ширина = 4, Высота = 4.
Площадь видимой верхней грани: \( 4 \times 4 = 16 \).
Площадь боковых стенок видимой части: \( 2 \times (4 \times 4) = 2 \times 16 = 32 \).

3. Средняя часть (выступ):

Длина = 11 - 4 = 7, Ширина = 4, Высота = 4.
Площадь видимой верхней грани: \( 7 \times 4 = 28 \).
Площадь боковых стенок видимой части: \( 2 \times (7 \times 4) + 2 \times (4 \times 4) = 2 \times 28 + 2 \times 16 = 56 + 32 = 88 \).

4. Соединительные грани (уступы):

Площадь переднего вертикального выступа (где уступ): \( 4 \times 4 = 16 \).
Площадь бокового вертикального выступа (где уступ): \( 6 \times 4 = 24 \).

Суммируем площади всех видимых граней:

Сначала посчитаем площади по плоскостям, чтобы избежать повторов:

Горизонтальные грани:

Нижнее основание: \( 11 \times 6 = 66 \)
Средняя площадка: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Верхняя площадка: \( 4 \times 4 = 16 \)
Итого горизонтальных: \( 66 + 42 + 16 = 124 \)

Вертикальные грани:

Передняя стена (большая): \( 11 \times 4 = 44 \)
Задняя стена (большая): \( 11 \times 4 = 44 \)
Левая стена (большая): \( 6 \times 4 = 24 \)
Правая стена (большая): \( 6 \times 4 = 24 \)
Выступ слева (спереди): \( 4 \times 4 = 16 \)
Выступ слева (сзади): \( 4 \times 4 = 16 \)
Выступ справа (спереди): \( 4 \times 4 = 16 \)
Выступ справа (сзади): \( 4 \times 4 = 16 \)
Верхний уступ (передний): \( 4 \times 4 = 16 \)
Верхний уступ (боковой): \( 4 \times 4 = 16 \)

Переосмыслим грани:

Можно представить, что это цельный параллелепипед \(11 \times 6 \times 8\), из которого вырезали кусок. Но проще посчитать каждую грань.

1. Нижний параллелепипед: \( 11 \times 6 \times 4 \)

Низ: \( 11 \times 6 = 66 \)
Перед и зад: \( 2 \times (11 \times 4) = 88 \)
Лево и право: \( 2 \times (6 \times 4) = 48 \)

2. Верхний куб: \( 4 \times 4 \times 4 \)

Верх: \( 4 \times 4 = 16 \)
Перед и зад (видимые части): \( 2 \times (4 \times 4) = 32 \)
Лево и право (видимые части): \( 2 \times (4 \times 4) = 32 \)

3. Средний выступ: \( 7 \times 4 \times 4 \) (длина \( 11-4=7 \))

Верх: \( 7 \times 4 = 28 \)
Перед и зад: \( 2 \times (7 \times 4) = 56 \)
Лево и право: \( 2 \times (4 \times 4) = 32 \)

4. Невидимые грани, которые нужно учесть:

Грань под верхним кубом: \( 4 \times 4 = 16 \)
Грань под средним выступом: \( 7 \times 4 = 28 \)
Боковая грань между нижним и средним: \( 4 \times 4 = 16 \)

Суммируем все поверхности:

Нижняя часть:

Дно: \( 11 \times 6 = 66 \)
Боковые стенки: \( 2 \times (11 \times 4) + 2 \times (6 \times 4) = 88 + 48 = 136 \)

Верхняя часть:

Верхняя площадка (ступенька): \( 4 \times 4 = 16 \)
Вертикальная стена у ступеньки (спереди): \( 4 \times 4 = 16 \)
Вертикальная стена у ступеньки (сбоку): \( 4 \times 4 = 16 \)
Горизонтальная площадка под ступенькой: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Вертикальная стена под ступенькой (спереди): \( 7 \times 4 = 28 \)
Вертикальная стена под ступенькой (сбоку): \( 6 \times 4 = 24 \)
Верхняя площадка (выступ): \( 4 \times 4 = 16 \)
Вертикальная стена у выступа (спереди): \( 4 \times 4 = 16 \)
Вертикальная стена у выступа (сбоку): \( 4 \times 4 = 16 \)

Суммируем:

Нижняя плоскость: \( 11 \times 6 = 66 \)
Плоскость под средней частью: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Плоскость под верхней частью: \( 4 \times 4 = 16 \)
Всего горизонтальных: \( 66 + 42 + 16 = 124 \)

Передняя вертикальная часть (большая): \( 11 \times 4 = 44 \)
Левая вертикальная часть (большая): \( 6 \times 4 = 24 \)
Верхний выступ (передняя часть): \( 4 \times 4 = 16 \)
Верхний выступ (боковая часть): \( 4 \times 4 = 16 \)
Боковая часть среднего выступа: \( 4 \times 4 = 16 \)
Передняя часть среднего выступа: \( 7 \times 4 = 28 \)
Уступ ступеньки (передняя часть): \( 4 \times 4 = 16 \)
Уступ ступеньки (боковая часть): \( 4 \times 4 = 16 \)
Задняя вертикальная часть (большая): \( 11 \times 4 = 44 \)
Правая вертикальная часть (большая): \( 6 \times 4 = 24 \)

Суммируем вертикальные грани:

Передняя часть: \( 11 \times 4 + 7 \times 4 + 4 \times 4 = 44 + 28 + 16 = 88 \)

Задняя часть: \( 11 \times 4 + 7 \times 4 + 4 \times 4 = 44 + 28 + 16 = 88 \)

Левая часть: \( 6 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 4 = 24 + 16 + 16 = 56 \)

Правая часть: \( 6 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 4 = 24 + 16 + 16 = 56 \)

Общая площадь: \( 124 + 88 + 88 + 56 + 56 = 412 \)

Альтернативный подход:

Разбить на 3 параллелепипеда:

Большой нижний: \( 11 \times 6 \times 4 \). Площадь поверхности: \( 2 \times (11 \times 6 + 11 \times 4 + 6 \times 4) = 2 \times (66 + 44 + 24) = 2 \times 134 = 268 \).
Средний: \( 7 \times 4 \times 4 \) (длина \( 11-4=7 \)). Площадь поверхности: \( 2 \times (7 \times 4 + 7 \times 4 + 4 \times 4) = 2 \times (28 + 28 + 16) = 2 \times 72 = 144 \).
Маленький верхний: \( 4 \times 4 \times 4 \). Площадь поверхности: \( 6 \times (4 \times 4) = 6 \times 16 = 96 \).

Теперь нужно вычесть площади нахлёстов и добавить площади скрытых граней.

Проще всего посчитать площади каждой видимой грани:

Нижнее основание: \( 11 \times 6 = 66 \)
Передняя стенка: \( 11 \times 4 = 44 \)
Левая стенка: \( 6 \times 4 = 24 \)
Средняя площадка: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Передняя стенка среднего выступа: \( 7 \times 4 = 28 \)
Левая стенка среднего выступа: \( 4 \times 4 = 16 \)
Верхняя площадка (ступенька): \( 4 \times 4 = 16 \)
Передняя стенка ступеньки: \( 4 \times 4 = 16 \)
Левая стенка ступеньки: \( 4 \times 4 = 16 \)
Задняя стенка (общая): \( 11 \times 4 = 44 \)
Правая стенка (общая): \( 6 \times 4 = 24 \)
Скрытые грани:
Грань под средней площадкой: \( 7 \times 4 = 28 \)
Грань под верхней площадкой: \( 4 \times 4 = 16 \)
Боковая грань между нижним и средним: \( 4 \times 4 = 16 \)
Боковая грань между средним и верхним: \( 4 \times 4 = 16 \)

Суммируем:

Нижний слой (полностью открыт, кроме верхней грани): \( 66 + 44 + 24 + 24 + 44 = 202 \)

Средний слой (только видимые части):

Средняя площадка: \( 42 \)
Передняя стенка: \( 28 \)
Левая стенка: \( 16 \)
Грань под средней площадкой: \( 28 \)
Грань под средней левой стенкой: \( 16 \)

Верхний слой (только видимые части):

Верхняя площадка: \( 16 \)
Передняя стенка: \( 16 \)
Левая стенка: \( 16 \)
Грань под верхней площадкой: \( 16 \)

Давайте просто посчитаем все внешние грани:

Нижняя плоскость: \( 11 \times 6 = 66 \)
Передняя плоскость: \( 11 \times 4 = 44 \)
Левая плоскость: \( 6 \times 4 = 24 \)
Средняя горизонтальная площадка: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Передняя вертикальная плоскость среднего выступа: \( 7 \times 4 = 28 \)
Левая вертикальная плоскость среднего выступа: \( 4 \times 4 = 16 \)
Верхняя горизонтальная площадка (ступенька): \( 4 \times 4 = 16 \)
Передняя вертикальная плоскость ступеньки: \( 4 \times 4 = 16 \)
Левая вертикальная плоскость ступеньки: \( 4 \times 4 = 16 \)
Задняя плоскость (общая): \( 11 \times 4 = 44 \)
Правая плоскость (общая): \( 6 \times 4 = 24 \)
Плоскость под средней частью (скрытая, но является поверхностью): \( 7 \times 4 = 28 \)
Плоскость под верхней частью (скрытая): \( 4 \times 4 = 16 \)
Боковая плоскость между нижним и средним: \( 4 \times 4 = 16 \)
Боковая плоскость между средним и верхним: \( 4 \times 4 = 16 \)

Итого:

\( 66 + 44 + 24 + 42 + 28 + 16 + 16 + 16 + 16 + 44 + 24 + 28 + 16 + 16 + 16 = 412 \)

Проверим другим способом:

Рассмотрим 3 параллелепипеда, как будто они стоят отдельно, а затем вычтем наложения.

1. Нижний параллелепипед: \( 11 \times 6 \times 4 \). Полная площадь поверхности \( 2(11 \times 6 + 11 \times 4 + 6 \times 4) = 2(66 + 44 + 24) = 2(134) = 268 \).

2. Средний параллелепипед: \( 7 \times 4 \times 4 \) (где \( 7 = 11-4 \)). Полная площадь поверхности \( 2(7 \times 4 + 7 \times 4 + 4 \times 4) = 2(28 + 28 + 16) = 2(72) = 144 \).

3. Верхний параллелепипед: \( 4 \times 4 \times 4 \). Полная площадь поверхности \( 6 \times (4 \times 4) = 6 \times 16 = 96 \).

Общая сумма площадей: \( 268 + 144 + 96 = 508 \).

Теперь вычтем площади перекрытия:

Нижний параллелепипед перекрывает средний на \( 7 \times 4 \) (площадь дна среднего) = \( 28 \).
Нижний параллелепипед перекрывает верхний на \( 4 \times 4 \) (площадь дна верхнего) = \( 16 \).
Средний параллелепипед перекрывает верхний на \( 4 \times 4 \) (площадь дна верхнего) = \( 16 \).

Скрытые грани, которые не учитывались:

При сложении площадей каждого параллелепипеда, мы дважды посчитали площади, где они соприкасаются. Например, верхняя грань нижнего параллелепипеда и нижняя грань среднего. Но мы должны учитывать, что эта грань является внешней поверхностью. Лучше считать каждую видимую поверхность.

Снова считаем видимые поверхности:

Горизонтальные:

Дно: \( 11 \times 6 = 66 \)
Средняя площадка: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Верхняя площадка: \( 4 \times 4 = 16 \)
Итого горизонтальных: \( 66 + 42 + 16 = 124 \)

Вертикальные (передняя, задняя, левая, правая):

Передняя: \( (11 \times 4) + (7 \times 4) + (4 \times 4) = 44 + 28 + 16 = 88 \)
Задняя: \( (11 \times 4) + (7 \times 4) + (4 \times 4) = 44 + 28 + 16 = 88 \)
Левая: \( (6 \times 4) + (4 \times 4) + (4 \times 4) = 24 + 16 + 16 = 56 \)
Правая: \( (6 \times 4) + (4 \times 4) + (4 \times 4) = 24 + 16 + 16 = 56 \)

Общая площадь: \( 124 + 88 + 88 + 56 + 56 = 412 \).

Ещё раз проверим:

Площадь поверхности = (Площадь двух больших параллелепипедов) - (Площадь перекрытия) + (Площадь выступающих частей).

Разобьём на простые прямоугольники:

Нижняя грань: \( 11 \times 6 = 66 \)
Верхняя грань (общая): \( 11 \times 4 \) + \( 7 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) = \( 44 + 28 + 16 = 88 \)
Передняя грань: \( 11 \times 4 \) + \( 7 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) = \( 44 + 28 + 16 = 88 \)
Задняя грань: \( 11 \times 4 \) + \( 7 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) = \( 44 + 28 + 16 = 88 \)
Левая грань: \( 6 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) = \( 24 + 16 + 16 = 56 \)
Правая грань: \( 6 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) + \( 4 \times 4 \) = \( 24 + 16 + 16 = 56 \)
Нижняя площадка под средним выступом: \( 7 \times 6 = 42 \)
Нижняя площадка под верхним выступом: \( 4 \times 4 = 16 \)

Складываем: \( 66 + 88 + 88 + 88 + 56 + 56 + 42 + 16 = 494 \)

Ошибка в предыдущих расчетах. Проверим внимательно.

1. Площади горизонтальных поверхностей:

Самое нижнее основание: \( 11 \times 6 = 66 \)
Площадь под средней частью: \( (11-4) \times 6 = 7 \times 6 = 42 \)
Самая верхняя площадка: \( 4 \times 4 = 16 \)
Всего горизонтальных: \( 66 + 42 + 16 = 124 \)

2. Площади вертикальных поверхностей:

Передняя часть (высота 4): \( 11 \times 4 = 44 \)
Средняя передняя площадка (высота 4): \( 7 \times 4 = 28 \)
Верхняя передняя площадка (высота 4): \( 4 \times 4 = 16 \)
Всего передних: \( 44 + 28 + 16 = 88 \)
Задняя часть (высота 4): \( 11 \times 4 = 44 \)
Средняя задняя площадка (высота 4): \( 7 \times 4 = 28 \)
Верхняя задняя площадка (высота 4): \( 4 \times 4 = 16 \)
Всего задних: \( 44 + 28 + 16 = 88 \)
Левая часть (высота 4): \( 6 \times 4 = 24 \)
Левая средняя площадка (высота 4): \( 4 \times 4 = 16 \)
Левая верхняя площадка (высота 4): \( 4 \times 4 = 16 \)
Всего левых: \( 24 + 16 + 16 = 56 \)
Правая часть (высота 4): \( 6 \times 4 = 24 \)
Правая средняя площадка (высота 4): \( 4 \times 4 = 16 \)
Правая верхняя площадка (высота 4): \( 4 \times 4 = 16 \)
Всего правых: \( 24 + 16 + 16 = 56 \)

3. Дополнительные боковые грани:

Боковая грань между нижним и средним: \( 4 \times 4 = 16 \)
Боковая грань между средним и верхним: \( 4 \times 4 = 16 \)

Сумма всех площадей:

\( 124 \) (горизонтальные) + \( 88 \) (передние) + \( 88 \) (задние) + \( 56 \) (левые) + \( 56 \) (правые) + \( 16 \) (боковая 1) + \( 16 \) (боковая 2) = \( 124 + 176 + 112 + 32 = 444 \).

Ответ: 444.