4. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60.

Решение:

Пусть дан прямоугольник \( ABCD \) с диагоналями \( AC \) и \( BD \). Диагонали пересекаются в точке \( O \). Известно, что \( AB = 5 \) см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).

Угол между диагоналями равен \( 60° \). Рассмотрим два случая:

Случай 1: острый угол между диагоналями равен 60°.

Пусть \( \angle AOB = 60° \).

Так как \( AO = BO \), то \( \triangle ABO \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BAO = \angle ABO = \frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \).

Значит, \( \triangle ABO \) — равносторонний. Тогда \( AB = AO = BO = 5 \) см.

Диагональ \( AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 \) см.

В прямоугольном \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора найдем сторону \( BC \):

\( BC^2 = AC^2 - AB^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \).

\( BC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.

Площадь прямоугольника \( S = AB \u0007 BC = 5 \u0007 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \) см².

Случай 2: тупой угол между диагоналями равен 60°, т.е. острый угол равен 180° - 60° = 120°.

Пусть \( \angle BOC = 60° \) (это тупой угол, тогда \( \angle AOB = 180° - 60° = 120° \)).

В равнобедренном \( \triangle BOC \) \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180° - 60°}{2} = 60° \).

Значит, \( \triangle BOC \) — равносторонний. Тогда \( BC = BO = CO = 5 \) см.

Диагональ \( AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 \) см. (Так как \( AO=CO \)).

В прямоугольном \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора найдем сторону \( AB \):

\( AB^2 = AC^2 - BC^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \).

\( AB = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.

В условии сказано, что одна из сторон равна 5 см. Если \( AB = 5\sqrt{3} \), то это противоречие. Поэтому острый угол между диагоналями не может быть 120°.

Таким образом, принимаем, что острый угол равен 60°.

Ответ: Площадь прямоугольника равна \( 25\sqrt{3} \) см².