4. Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через вершину D и середины рёбер AA₁, CC₁.

Обозначим середины рёбер AA₁ и CC₁ через M и N. Сечение — четырёхугольник DMB₁N: плоскость проходит также через вершину B₁.

Зададим координаты куба: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0); верхние вершины имеют координату z = 1. Тогда M(0, 0, 1/2), N(1, 1, 1/2), B₁(1, 0, 1).

Соседние стороны сечения: \(DM=\sqrt{1+(1/2)^2}=\frac{\sqrt5}{2}\) и \(MB₁=\sqrt{1+(1/2)^2}=\frac{\sqrt5}{2}\). Угол между ними не прямой: скалярное произведение векторов DM и MB₁ равно \(1/4\). Площадь параллелограмма DMB₁N равна модулю их векторного произведения: \(S=\sqrt{(5/4)(5/4)-(1/4)^2}=\sqrt{24/16}=\frac{\sqrt6}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt6}{2}\).