4. Найдите решение системы: 1) {x+y+z=1, x+y=2, y+z=3;} 2) {x+y+z=6, x+y-z=4, x-y-z=0.}

4. Решение систем трех линейных уравнений:

1)
\( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases} \)
Из второго уравнения: \( x + y = 2 \).
Подставим это в первое уравнение:
\( (x+y) + z = 1 \)
\( 2 + z = 1 \Rightarrow z = 1 - 2 \Rightarrow z = -1 \)
Из третьего уравнения: \( y + z = 3 \)
Подставим \( z = -1 \):
\( y + (-1) = 3 \Rightarrow y - 1 = 3 \Rightarrow y = 4 \)
Из второго уравнения: \( x + y = 2 \)
Подставим \( y = 4 \):
\( x + 4 = 2 \Rightarrow x = 2 - 4 \Rightarrow x = -2 \)
Проверка: \( -2 + 4 + (-1) = 1 \) (верно), \( -2 + 4 = 2 \) (верно), \( 4 + (-1) = 3 \) (верно).
Ответ: \( x = -2, y = 4, z = -1 \).

2)
\( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + y - z = 4 \\ x - y - z = 0 \end{cases} \)
Сложим первое и второе уравнения:
\( (x + y + z) + (x + y - z) = 6 + 4 \)
\( 2x + 2y = 10 \Rightarrow x + y = 5 \quad (1) \)
Сложим второе и третье уравнения:
\( (x + y - z) + (x - y - z) = 4 + 0 \)
\( 2x - 2z = 4 \Rightarrow x - z = 2 \quad (2) \)
Из уравнения (1) выразим \( y \): \( y = 5 - x \)
Из уравнения (2) выразим \( z \): \( z = x - 2 \)
Подставим выражения для \( y \) и \( z \) в первое уравнение исходной системы:
\( x + (5 - x) + (x - 2) = 6 \)
\( x + 5 - x + x - 2 = 6 \)
\( x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3 \)
Теперь найдём \( y \) и \( z \):
\( y = 5 - x = 5 - 3 = 2 \)
\( z = x - 2 = 3 - 2 = 1 \)
Проверка: \( 3 + 2 + 1 = 6 \) (верно), \( 3 + 2 - 1 = 4 \) (верно), \( 3 - 2 - 1 = 0 \) (верно).
Ответ: \( x = 3, y = 2, z = 1 \).