4. Найдите сторону AB и площадь треугольника ABC, изображённого на рисунке 38.

По рисунку: \(BC=15\), \(CA=20\), \(\angle C=45^\circ\).

По теореме косинусов:

\(AB^2=BC^2+CA^2-2\cdot BC\cdot CA\cdot\cos C=15^2+20^2-2\cdot15\cdot20\cdot\cos45^\circ=625-300\sqrt2.\)

Так как длина стороны положительна, \(AB=\sqrt{625-300\sqrt2}\).

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot CA\cdot\sin C=\frac12\cdot15\cdot20\cdot\sin45^\circ=75\sqrt2.\)

Ответ: \(AB=\sqrt{625-300\sqrt2}\), \(S_{ABC}=75\sqrt2\).