4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам: 1) 3, 4, 5 и 9; 2) 2, 3, 4 и 11. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\).

1) Числа 3, 4, 5 и 9.

Сумма частей: \(3+4+5+9=21\). Одна часть равна:

\[360^\circ:21=\frac{120}{7}^\circ.\]

Углы:

• \(3\cdot\frac{120}{7}=\frac{360}{7}^\circ\approx51{,}43^\circ\);
• \(4\cdot\frac{120}{7}=\frac{480}{7}^\circ\approx68{,}57^\circ\);
• \(5\cdot\frac{120}{7}=\frac{600}{7}^\circ\approx85{,}71^\circ\);
• \(9\cdot\frac{120}{7}=\frac{1080}{7}^\circ\approx154{,}29^\circ\).

Все углы меньше \(180^\circ\), поэтому четырёхугольник выпуклый.

2) Числа 2, 3, 4 и 11.

Сумма частей: \(2+3+4+11=20\). Одна часть равна:

\[360^\circ:20=18^\circ.\]

Углы: \(36^\circ, 54^\circ, 72^\circ, 198^\circ\).

Так как один угол больше \(180^\circ\), четырёхугольник невыпуклый.

Ответ: 1) углы примерно \(51{,}43^\circ\), \(68{,}57^\circ\), \(85{,}71^\circ\), \(154{,}29^\circ\); четырёхугольник выпуклый. 2) углы \(36^\circ\), \(54^\circ\), \(72^\circ\), \(198^\circ\); четырёхугольник невыпуклый.