4. Найдите углы R и S треугольника PRS, если ZP = 84°, а ∠R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S.

Решение:

Обозначим угол при вершине S как \( \angle S \). Внешний угол при вершине S равен \( 180^{\circ} - \angle S \).

По условию, \( \angle R \) в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S:

\( \angle R = \frac{1}{4}(180^{\circ} - \angle S) \)

Также, \( \angle R = 4 \cdot \text{внешний угол при S} \)

Из второго условия следует, что \( \angle R \) больше \( \angle S \).

В треугольнике PRS сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle P + \angle R + \angle S = 180^{\circ} \)

Подставим \( \angle P = 84^{\circ} \):

\( 84^{\circ} + \angle R + \angle S = 180^{\circ} \)

\( \angle R + \angle S = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ} \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( \angle R + \angle S = 96^{\circ} \)
2. \( \angle R = \frac{1}{4}(180^{\circ} - \angle S) \)

Подставим первое уравнение во второе:

\( 96^{\circ} - \angle S = \frac{1}{4}(180^{\circ} - \angle S) \)

Умножим обе стороны на 4:

\( 4(96^{\circ} - \angle S) = 180^{\circ} - \angle S \)

\( 384^{\circ} - 4\angle S = 180^{\circ} - \angle S \)

\( 384^{\circ} - 180^{\circ} = 4\angle S - \angle S \)

\( 204^{\circ} = 3\angle S \)

\( \angle S = \frac{204^{\circ}}{3} = 68^{\circ} \)

Теперь найдём \( \angle R \):

\( \angle R = 96^{\circ} - \angle S = 96^{\circ} - 68^{\circ} = 28^{\circ} \)

Проверим второе условие: \( \angle R = \frac{1}{4}(180^{\circ} - \angle S) \)

\( 28^{\circ} = \frac{1}{4}(180^{\circ} - 68^{\circ}) \)

\( 28^{\circ} = \frac{1}{4}(112^{\circ}) \)

\( 28^{\circ} = 28^{\circ} \)

Условия выполняются.

Ответ: \( \angle R = 28^{\circ} \), \( \angle S = 68^{\circ} \).