4. Найдите угол, обозначенный буквой x: а) равнобедренный треугольник, угол при основании 80°; б) равнобедренный треугольник, угол при основании 55°, x — внешний угол при другом основании; в) равнобедренный треугольник, угол при основании 68°, x — угол при вершине; г) равнобедренный треугольник, угол при основании 45°, x — вертикальный угол при вершине; д) равнобедренный треугольник, медиана к основанию делит угол при вершине на x и 35°; е) равнобедренный треугольник, медиана к основанию делит угол при вершине на равные части, одна из которых равна 43°, x — угол между боковой стороной и медианой; ж) равнобедренный треугольник, проведена биссектриса угла при основании к середине противоположной боковой стороны, x — угол между биссектрисой и этой боковой стороной; з) в левом равнобедренном треугольнике угол при основании равен 50°, его боковая сторона равна основанию правого треугольника; отмеченные отрезки на наклонной стороне правого треугольника равны, x — угол между отрезком к середине наклонной стороны и основанием; и) большой равнобедренный треугольник имеет боковые стороны, равные отмеченному отрезку на основании; угол при левом основании равен 40°, x — угол между правой боковой стороной и основанием.

Используем свойства равнобедренного треугольника: углы при основании равны, сумма углов треугольника равна 180°, внешний угол смежен с внутренним, а медиана к основанию является биссектрисой.

1. а) Углы при основании равны, поэтому x = 80°.
2. б) Внутренний угол при правом основании равен 55°. Внешний угол смежен с ним: x = 180° − 55° = 125°.
3. в) Оба угла при основании равны 68°, поэтому x = 180° − 68° − 68° = 44°.
4. г) Углы при основании равны 45°, следовательно, угол при вершине равен 180° − 45° − 45° = 90°. Вертикальный ему угол также равен 90°, значит x = 90°.
5. д) Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике делит угол при вершине пополам, поэтому x = 35°.
6. е) Медиана делит угол при вершине пополам. Указанная половина равна 43°, значит x = 43°.
7. ж) Отмеченный отрезок соединяет вершину треугольника с серединой противоположной боковой стороны. Эта сторона равна основанию, поэтому треугольник равносторонний. Угол при основании равен 60°, а биссектриса делит его пополам. Тогда x = 180° − 30° − 60° = 90°.
8. з) В левом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180° − 50° − 50° = 80°. Смежный с ним угол при общей нижней точке равен 100°. Поскольку отрезки на наклонной стороне правого треугольника равны, отрезок к их середине — медиана; боковая сторона левого треугольника равна основанию правого, значит правый треугольник равнобедренный, и его углы при основании равны. Угол у общей нижней точки составляет 100° − 50° = 50°, следовательно, x = 50°.
9. и) Отмеченный отрезок на основании равен обеим боковым сторонам большого треугольника. В левом малом треугольнике боковые стороны равны, поэтому угол при вершине равен 40°, а угол у основания на внутренней линии равен 100°. Смежный угол в правом малом треугольнике равен 80°. Его сторона от вершины к основанию равна правой боковой стороне большого треугольника, поэтому правый малый треугольник равнобедренный. Тогда x = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°.