4. Найдите вероятность наступления ровно 5 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p=0,5.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли:

P_n(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k)

Где:

• n = 9 (общее число испытаний)
• k = 5 (число успехов)
• p = 0.5 (вероятность успеха)
• q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5 (вероятность неудачи)
• C_n^k - число сочетаний из n по k, которое рассчитывается как n! / (k! * (n-k)!)

1. Рассчитаем число сочетаний C₉⁵:

• C₉⁵ = 9! / (5! * (9-5)!) = 9! / (5! * 4!)
• C₉⁵ = (9 × 8 × 7 × 6 × 5!) / (5! × 4 × 3 × 2 × 1)
• C₉⁵ = (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1)
• C₉⁵ = (3024) / 24 = 126

2. Рассчитаем вероятность:

• P₉(5) = 126 × (0.5)⁵ × (0.5)^(9-5)
• P₉(5) = 126 × (0.5)⁵ × (0.5)⁴
• P₉(5) = 126 × (0.5)⁹
• P₉(5) = 126 × (1/512)
• P₉(5) = 126 / 512
• P₉(5) = 63 / 256

Ответ: 63/256