4. Найдите все решения системы неравенств: ((x - 3)(x - 1) ≥ 0 x > 2

Решение:

Для решения данной системы неравенств, сначала рассмотрим первое неравенство:

\( (x - 3)(x - 1) \ge 0 \)

Корнями уравнения \( (x - 3)(x - 1) = 0 \) являются \( x = 3 \) и \( x = 1 \). Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, 1] \), \( [1, 3] \) и \( [3, \infty) \).

Проверим знак произведения \( (x - 3)(x - 1) \) на каждом интервале:

• При \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 3)(0 - 1) = (-3)(-1) = 3 > 0 \).
• При \( 1 < x < 3 \) (например, \( x = 2 \)): \( (2 - 3)(2 - 1) = (-1)(1) = -1 < 0 \).
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( (4 - 3)(4 - 1) = (1)(3) = 3 > 0 \).

Таким образом, решение первого неравенства: \( x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \).

Теперь рассмотрим второе неравенство:

\( x > 2 \)

Решением второго неравенства является интервал \( (2, \infty) \).

Для нахождения решений системы необходимо найти пересечение решений обоих неравенств:

\( x \in ((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap (2, \infty) \)

Пересечением является интервал \( [3, \infty) \).

Ответ: x ∈ [3, +∞).