4. Найдите все значения параметра \(p\), при которых уравнение \(|x-7|=p^2+p-6\) имеет ровно два корня.

Уравнение вида \(|x-7|=a\) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда \(a>0\): при положительном значении это \(x=7-a\) и \(x=7+a\).

1. Требуем, чтобы правая часть была положительной: \(p^2+p-6>0\).

2. Разложим на множители: \((p+3)(p-2)>0\).

3. Произведение положительно вне корней \(-3\text{ и }2\).

Ответ: \(p\in(-\infty;-3)\cup(2;\infty)\).