4. Найдите значение выражения \( \frac{1}{4}a^{-5}b^{3} \cdot 32a^{6}b^{-2} \) при \( a = -\frac{7}{6}, b = \frac{3}{14} \).

Решение:

1. Сначала упростим выражение:
2. \( \frac{1}{4}a^{-5}b^{3} \cdot 32a^{6}b^{-2} = (\frac{1}{4} \cdot 32) \cdot (a^{-5} \cdot a^{6}) \cdot (b^{3} \cdot b^{-2}) \)
3. \( = 8 \cdot a^{-5+6} \cdot b^{3-2} = 8a^{1}b^{1} = 8ab \)
4. Теперь подставим значения \( a = -\frac{7}{6} \) и \( b = \frac{3}{14} \):
5. \( 8ab = 8 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) \cdot \left(\frac{3}{14}\right) \)
6. \( = 8 \cdot \left(-\frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 14}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{21}{84}\right) \)
7. Сократим дробь \( \frac{21}{84} = \frac{1}{4} \):
8. \( = 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{8}{4} = -2 \)

Ответ: -2.