4. Найдите значение выражения \(\frac{a^{23}\cdot(b^5)^4}{(a\cdot b)^{20}}\) при \(a=2,\ b=\sqrt{2}\).

Раскроем степени: \((b^5)^4=b^{20}\), а \((a\cdot b)^{20}=a^{20}b^{20}\). Тогда

\[\frac{a^{23}b^{20}}{a^{20}b^{20}}=a^3.\]

Подставим \(a=2\): \(2^3=8\). Значение \(b\) сокращается и на результат не влияет.

Ответ: 8.