4. Найти: BC, MP. На рисунке M и P — середины боковых сторон трапеции ABCD; диагонали пересекают MP в точках N и K. Дано: NK = 8, AD = 46.

1. Поскольку M и P — середины боковых сторон трапеции, MP — её средняя линия. Поэтому \(MP=\frac{AD+BC}{2}\).

2. В треугольнике ACD отрезок MN соединяет середины AD и AC, поэтому \(MN=\frac{CD}{2}\). В треугольнике BCD отрезок KP соединяет середины BD и CD, поэтому \(KP=\frac{BC}{2}\). Для определения NK удобнее рассмотреть координаты: на средней линии расстояние между точками пересечения диагоналей равно половине разности оснований, то есть \(NK=\frac{AD-BC}{2}\). На рисунке AD — большее основание.

3. Подставим данные: \(8=\frac{46-BC}{2}\), значит \(16=46-BC\), откуда \(BC=30\).

4. Найдём среднюю линию: \(MP=\frac{46+30}{2}=38\).

Ответ: BC = 30; MP = 38.