4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠ABD=30°, AD=5 см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник ABD. Угол ∠BAD = 90°. Угол ∠ABD = 30°. Угол ∠ADB= 180° - 90° - 30° = 60°. Сторона AD является катетом, противолежащим углу ∠ABD. Известно, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Поэтому, если AD = 5 см, то гипотенуза AB=10 cm. Диагональ BD прямоугольника является гипотенузой треугольника ABD. Ищем BD: sin(∠ABD) = AD / BD. sin(30°) = 5 / BD. 1/2 = 5 / BD. BD = 10 см. Так как диагонали прямоугольника равны, то AC = BD = 10 см. Ответ: Диагонали равны 10 см.