4) Найти О.О.Ф. \(y=\log_a\frac{3x+1}{x-4}\).

Для существования логарифма необходимо:

\(a>0\), \(a\ne1\), \(\dfrac{3x+1}{x-4}>0\).

Рассмотрим дробь. Её нули и точки разрыва:

\(3x+1=0\Longrightarrow x=-\frac13\); \(x-4=0\Longrightarrow x=4\).

Знаки дроби:

• при \(x<-\frac13\) дробь положительна;
• при \(-\frac13<x<4\) дробь отрицательна;
• при \(x>4\) дробь положительна.

Точки \(-\frac13\) и \(4\) не входят в область определения.

Ответ: О.О.Ф. \(x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(4;+\\infty)\), при \(a>0\), \(a\ne1\).