4. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = -1.

Решение:

Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОХ будем использовать формулу:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]

В данном случае функция \( f(x) = x^2 \), нижний предел интегрирования \( a = -1 \), верхний предел \( b = 0 \) (так как фигура ограничена линиями \( y = x^2 \), \( y = 0 \) (ось ОХ) и \( x = -1 \)).

1. Подставим значения в формулу:

\[ V = \pi \int_{-1}^{0} (x^2)^2 dx \]

\[ V = \pi \int_{-1}^{0} x^4 dx \]

1. Вычислим интеграл:

\[ \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} \]

1. Применим пределы интегрирования:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{0} \]

\[ V = \pi \left( \frac{0^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) \]

\[ V = \pi \left( 0 - \frac{-1}{5} \right) \]

\[ V = \pi \left( \frac{1}{5} \right) \]

\[ V = \frac{\pi}{5} \]

Ответ: объём тела равен \(\frac{\pi}{5}\) кубических единиц.