4. Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения (a+1)x² − (a²+2a)x − a − 1 = 0 принадлежат отрезку [−2; 2].

Обозначим левую часть через \(q(x)=(a+1)x^2-a(a+2)x-a-1\).

Сначала рассмотрим случай \(a\ne-1\). Уравнение квадратное, а произведение его корней равно \(\frac{-a-1}{a+1}=-1\). Значит, корни имеют разные знаки. Чтобы оба корня принадлежали отрезку [−2; 2], достаточно и необходимо, чтобы значения многочлена на концах отрезка имели знак коэффициента при \(x^2\) либо были равны нулю:

\((a+1)q(-2)\ge0\) и \((a+1)q(2)\ge0\).

Вычислим:

\(q(-2)=2a^2+7a+3=(2a+1)(a+3)\),

\(q(2)=-2a^2-a+3=-(2a-3)(a+1)\).

Из условия для \(q(2)\) получаем \(-(a+1)^2(2a-3)\ge0\), то есть \(a\le1\).

Условие для \(q(-2)\): \((a+1)(2a+1)(a+3)\ge0\). Оно выполняется при \(a\in[-3,-1]\cup[-\frac12,+\infty)\). С учётом \(a\le1\), для \(a\ne-1\) получаем \([-3,-1)\cup[-\frac12,1]\).

При \(a=-1\) уравнение становится \(x=0\), и его корень также принадлежит отрезку [−2; 2].

Ответ: \(a\in[-3,-1]\cup[-\frac12,1]\).